Di tingkat SMP, kamu udah belajar mengenai lingkaran. Mulai berasal dari mengenal beraneka macam bagian-bagian lingkaran, sampai bersama dengan cara menghitung luas bangunnya. Pada lingkaran, terkandung yang namanya titik pusat dan terhitung jari-jari.
Nah, ada yang tetap inget nggak, pengertian berasal dari keduanya?
Titik pusat merupakan suatu titik yang berada pas di sedang lingkaran. Sementara itu, jari-jari lingkaran merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat bersama dengan satu titik pada garis lengkung lingkaran.
Supaya lebih kebayang nih, cobalah deh kamu menyimak lingkaran berikut!
P : pusat lingkaran, r : jari-jari lingkaran (Sumber: rumuspintar.com)
Dari gambar mampu keluar ya, pusat itu letaknya di tengah-tengah, namun jari-jari merupakan garis yang menghubungkan titik pusat bersama dengan pinggir lingkaran.
Sekarang, kakak ada lebih dari satu pertanyaan, nih. Bagaimana jika terkandung satu titik yang terletak bukan di pusat lingkaran? Atau, bagaimana jika ada garis lurus pada lingkaran yang tidak kita ketahui bersama dengan jelas, apakah garis itu memotong lingkaran atau bersinggungan bersama dengan lingkaran?
Nah, pertanyaan-pertanyaan https://www.bkmpii.org/ itulah yang bakal kita bahas pada artikel kali ini, yaitu mengerti kedudukan atau letak suatu titik dan garis lurus pada lingkaran. Oke, langsung saja kita lihat pembahasannya selanjutnya ini!
Kedudukan Titik pada Lingkaran
Kedudukan titik pada lingkaran terbagi jadi tiga kondisi, yaitu titik terletak di dalam lingkaran, titik terletak di luar lingkaran, dan titik terletak pada garis lengkung lingkaran.
Sebenarnya, letak titik pada lingkaran ini mampu kita ketahui bersama dengan mudah andaikan keduanya dideskripsikan pada bidang Kartesius. Tapi, cara itu kurang efisien karena butuh waktu yang cukup lama. Apalagi, jika digunakan di ujian nanti.
Eits, tenang aja! Ada cara lain yang mampu kita memanfaatkan untuk mengerti kedudukan titik-titik selanjutnya tanpa wajib menggambarnya, yaitu bersama dengan memanfaatkan rumus persamaan lingkarannya sebagai berikut:
Jika pusatnya P (0,0) dan jari-jarinya r, maka wujud persamaannya x2 + y2 = r2
Jika pusatnya P (a,b) dan jari-jarinya r, maka wujud persamaannya (x – a)2 + (y – b)2 = r2
Jika pusatnya dan jari-jarinya r = , maka wujud persamaannya x2 + y2 +Ax + By + C = 0
Ada tiga macam wujud umum persamaan lingkaran. Penentuan letak suatu titik pada lingkaran bergantung berasal dari masing-masing wujud persamaannya.
Baca Juga: Memahami Konsep Limit Fungsi Aljabar & Sifat-Sifatnya
1. Kedudukan titik pada lingkaran bersama dengan wujud x2 + y2 = r2
Pada wujud persamaan x2 + y2 = r2, lingkaran punya titik pusat di O (0,0) dan panjang jari-jari r. Misalkan terkandung suatu titik, yaitu Q (x1, y1). Kedudukan titik Q pada lingkaran x2 + y2 = r2 adalah sebagai berikut:
Supaya kamu lebih mudah mengerti maksud berasal dari rumus di atas, yuk kita cobalah kerjakan lebih dari satu perumpamaan soal di bawah ini:
Contoh soal:
1. Tentukanlah kedudukan atau posisi titik (5,2) pada lingkaran x2 + y2 = 25!
2. Titik (8,p) terletak pas pada lingkaran x2 + y2 = 289 andaikan p bernilai?
Pembahasan:
1. Pada persamaan x2 + y2 = 25 diketahui nilai r2 = 25. Untuk menentukan kedudukan titik (5,2) pada lingkaran x2 + y2 = 25, kita mampu langsung mensubstitusikan titik selanjutnya ke dalam persamaan lingkarannya.
Sehingga (x, y) = (5, 2) diperoleh:
x2 + y2 = 52 + 22 = 25 + 4 = 29
Karena 29 > 25. Jadi, titik (5,2) terletak di luar lingkaran x2 + y2 = 25
2. Syarat sehingga titik (8, p) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 289, maka ketika titik (8, p) disubstitusikan ke persamaan lingkarannya, wajib sama bersama dengan 289. Kalau kita substitusikan diperoleh:
x2 + y2 = 289
82 + p2 = 289
64 + p2 = 289
p2 = 225
p = √225
p = 15 atau -15
Jadi, sehingga titik (8, p) terletak pas pada lingkaran x2 + y2 = 289, nilai p haruslah berharga 15 atau -15.
Baca Juga: 4 Metode Pembuktian Matematika
—
Eits, istirahat dulu bacanya sebentar ya. Punya PR https://www.sibersatu.com/ susah dan bingung wajib bertanya kemana? Gampang, kamu mampu langsung kirim foto soal dan dapatkan jawabannya di Roboguru!
2. Kedudukan titik pada lingkaran bersama dengan wujud (x-a)2 + (y-b)2 = r2
Pada wujud persamaan ini, lingkaran punya titik pusat di P (a,b) dan panjang jari-jari r. Misalkan, terkandung suatu titik, yaitu Q (x1, y1). Kedudukan titik Q pada lingkaran (x-a)2 + (y-b)2 = r2 adalah sebagai berikut:
Contoh soal:
Tentukan kedudukan titik (3, 5) pada lingkaran bersama dengan persamaan (x-3)2 + (y-2)2 = 16!
Pembahasan:
Seperti pada pembahasan soal no 1 sebelumnya, letak titik (3, 5) pada lingkaran (x-3)2 + (y-2)2 = 16 mampu kita ketahui bersama dengan mensubstitusi titik selanjutnya ke dalam persamaan lingkaran,
sehingga,
3 – 32 + 5 – 22 = 02 + 32 = 9
Karena 9 < 16, jadi titik (3, 5) terletak di dalam lingkaran x – 32 + y – 22 = 16
3. Kedudukan titik pada lingkaran bersama dengan wujud x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Persamaan lingkaran bersama dengan wujud x2 + y2 + Ax + By + C = 0 memiliki:
Titik pusat di
Jari-jari r =
Sebenarnya, wujud persamaan ini merupakan hasil penjabaran berasal dari wujud (x-a)2 + (y-b)2 = r2. Misalnya, terkandung suatu titik pada lingkaran, yaitu Q (x1, y1). Kedudukan titik Q pada lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 adalah sebagai berikut:
Sekarang, kita cobalah kerjakan soal di bawah ini:
Contoh soal:
Tentukan nilai m sehingga titik (2, m) terletak di luar lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0!
Pembahasan:
Agar titik (2, m) berada di luar lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0, syarat yang wajib dipenuhi adalah ketika titik (2, m) disubstitusikan ke pesamaan lingkarannya, maka diperoleh x12 + y12 + Ax + By + C > 0. Oleh karena itu, kita substitusikan titik (2, m) ke dalam persamaan x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0, jadi sebagai berikut:
x2 + y2 + 2x – 6y – 15 > 0
22 + m2 + 4 – 6m -15 > 0
4 + m2 + 4 – 6m – 15 > 0
m2 – 6m – 7 > 0
(m – 7)(m + 1) > 0
Nah, ternyata kita dapetnya pertidaksamaan nih, jika begitu kita wajib cari dulu pembuat nolnya, yaitu:
(m – 7)(m + 1) = 0
m = 7 atau m = -1
Kemudian, gambarkan ke garis bilangannya:
Karena tanda pertidaksamaannya >, maka daerah yang kita menentukan adalah yang positif. Sehingga, nilai m yang mencukupi adalah m < -1 atau m > 7.
Jadi, sehingga titik (2, m) berada di luar lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0, nilai m yang mencukupi adalah m > 7 atau m > -1.
Nah, teman-teman, mengerti ya bersama dengan penjelasan di atas? Sekarang, kita lanjut yuk ke bahasan mengenai kedudukan garis lurus pada lingkaran. Cus, meluncuuurrr!!!
Baca Juga: Konsep Limit Fungsi Aljabar dan Sifat-Sifatnya
Kedudukan Garis Lurus pada Lingkaran
Sama halnya bersama dengan pembahasan sebelumnya, kedudukan garis lurus pada lingkaran terbagi jadi tiga kondisi, yaitu garis memotong lingkaran di dua titik berbeda, garis menyinggung lingkaran di satu titik, dan garis tidak memotong ataupun menyinggung lingkaran.
Misalkan, ada:
Sebuah garis lurus bersama dengan persamaan y = mx + n; dan
Lingkaran bersama dengan persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Kedudukan garis lurus pada lingkaran mampu kita cari memanfaatkan nilai diskriminannya.
Diskriminan (D = b2 – 4ac) diambil berasal dari persamaan kuadrat yang merupakan hasil substitusi berasal dari persamaan garis bersama dengan persamaan lingkarannya.
Contoh soal:
Tentukan posisi garis y = 3x – 1 pada lingkaran x2 + y2 + 2x + 2y – 4 = 0!
Pembahasan:
Pertama, kita cari persamaan kuadrat bersama dengan mensubstitusikan lebih-lebih dahulu persamaan garis y = 3x – 1 ke dalam persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x + 2y – 4 = 0, sehingga:
x2 + (3x – 1)2 + 2x + 2(3x – 1) – 4 = 0
x2 + 9×2 – 6x + 1 + 2x + 6x – 2 – 4 = 0
10×2 + 2x – 5 = 0
Setelah kita peroleh persamaan kuadratnya, kita cari nilai diskriminannya sebagai berikut:
10×2 + 2x – 5 = 0, a = 10, b = 2, c = -5.
D = b2 – 4ac
D = 22 – 4(10)(-5)
D = 22 + 200
D = 222
Karena nilai diskriminannya adalah 222, dan 222 > 0, maka garis y = 3x – 1 memotong lingkaran x2 + y2 + 2x + 2y – 4 = 0 di dua titik.
Gimana, nih? Semoga kamu mengerti ya bersama dengan penjelasan di atas. Nah, di bawah ini kakak tetap ada lebih dari satu latihan soal kembali yang mampu kamu kerjakan di rumah.